求使得9n−1n+7为有理数的正整数n的值．
问题描述：
求使得
为有理数的正整数n的值．
9n−1 n+7
答
由n是正整数，
为有理数当且仅当（n+7）•
9n−1 n+7
=
9n−1 n+7
为有理数．
(9n−1)(n+7)
而（9n-1）（n+7）是整数，其平方根若为有理数则必为整数．
设非负整数m满足m2=（9n-1）（n+7）=9n2+62n-7．
则9m2=（9n）2+62（9n）-63=（9n+31）2-312-63=（9n+31）2-1024．
即有1024=（9n+31）2-9m2=（9n+31+3m）（9n+31-3m）．
9n+31+3m是1024的约数．
n是正整数，m是非负整数，故9n+31+3m是大于31的整数．
此外，易见9n+3m+31除以3余1．
满足条件的1024的约数有64，256，1024．
若9n+31+3m=64，有9n+31-3m=
=16，解得n=1．1024 64
若9n+31+3m=256，有9n+31-3m=
=4，解得n=11．1024 256
若9n+31+3m=1024，有9n+31-3m=
=1，解不为整数．1024 1024
可验证n=1时
=1，n=11时
9n−1 n+7
=
9n−1 n+7
为有理数．7 3
故满足条件的正整数为1，11．