高中数学初学者求周期函数解法
高中数学初学者求周期函数解法
已知函数f (x )满足f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y属于R),则f(2010)=?
取y=1，则 4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)
即 f(x)=f(x+1)+f(x-1)
所以 f(x+1)=f(x+2)+f(x) (在上式中，以x+1代替x)
两式相加，得 f(x+2)+f(x-1)=0
所以 f(x+2)=-f(x-1)
因此，f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)
就是说，函数是以6为周期的周期函数。
f(2010)=f(335*6)=f(0)
在已知等式中取x=1，y=0，则可得 4f(1)f(0)=2f(1)，所以 f(0)=1/2
因此，f(2010)=f(0)=1/2.
此步不解：
f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)
你是指函数变换（就是什么左右平移之类的）还是成周期的函数（这个应该相对要简单好多）
我不知道你的疑点在哪里 希望你可以说的清楚一点
应为我觉得 如果是后一种的应该不算是问题 可能跟前面这一种有点小问题吧我没接触过这种函数的左右平移，在教辅书上看到的这个问题，但答案不解例如f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1] 这一步 由题意f(x+2)=-f(x-1)就相当于用x+4来代换x 所以前面那个式子是成立的精髓就在于要学会去凑 去配出符合要求的等式那后面其实也是这个意思-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1] 这一步就是 用x+1来代换x 意思是差不多的可能这才是你初步学习 到后面这样的关系就不需要证明 直接可以使用相关形式总结分析：遇到f(x)=f(x+T)(一般是将左式的括号内化简成只有x) 那就说明这是个周期为T的函数遇到f(x)=-f(x+T)实际上就是这一题的格式 那就说明这是个周期为2T的函数遇到f(x)=1/f(x+T)说明这是个周期为2T的函数遇到f(x)=-1/f(x+T)说明这是个周期为2T的函数后面三种其实都是周期为2T的函数 记忆起来也比较方便关于证明 就可以用那种迭代 凑出来可以给你做个示范 证明一下第四种（最复杂的一种 应该这个证一下 其他都会吧）f(x+T)=-1/f(x+2T) ......这一步就是先一步一步代（用x+T代x ）变换一下就变成-1/f(x+T)=f(x+2T)又因为f(x)=-1/f(x+T)所以f(x)=-1/f(x+T)=f(x+2T) 第一个和第三个相等说明周期为2T全是手打 欢迎采纳