如图,某小区进行绿化改造.计划围出一块三角形绿地ABC.其中一边利用现成的围墙BC.长度为1(百米).另外两边AB,AC使用某种新型材料.∠BAC=120°设AB=x(百米),AC=y(百米)(1)求x,y满足的关系式(指出x的取值范围)(2)若无论如何设计另两边的长,都能确保围成三角形绿地,则至少需要准备长度为多少(百米)的此种新型材料.

问题描述:

如图,某小区进行绿化改造.计划围出一块三角形绿地ABC.其中一边利用现成的围墙BC.长度为1(百米).另外两边AB,AC使用某种新型材料.∠BAC=120°设AB=x(百米),AC=y(百米)

(1)求x,y满足的关系式(指出x的取值范围)
(2)若无论如何设计另两边的长,都能确保围成三角形绿地,则至少需要准备长度为多少(百米)的此种新型材料.

(1)由余弦定理可得,1=x2+y2-2xycos120°,∴x2+y2+xy=1,其中0<x<1;
(2)∵(x+y)2=x2+y2+2xy=1+xy≤1+

(x+y)2
4

∴(x+y)2
4
3

∴x+y≤
2
3
3
,当且仅当x=y=
3
3
时,取等号
∴至少需要准备长度为
2
3
3
百米的此种新型材料.
答案解析:(1)利用余弦定理,可求x,y满足的关系式,及x的取值范围;
(2)利用(1)的结论及基本不等式,即可求得结论.
考试点:解三角形的实际应用.
知识点:本题考查余弦定理的运用,考查基本不等式,考查学生的计算能力,属于中档题.