直角三角形周长为12,当其面积最大时,斜边长为多少?

设斜边长为X
周长C=X+XsinA+XcosA=X(1+sinA+cosA)
=X[1+根号2*sin(A+45度)]
当sin(A+45度)=1 即 A=45度 时，周长取得最大
周长C=（1+根号2）X=12
得 X=12（根号2-1）

设直角边为a，b，则周长表示为a+b+根号下a^2+b^2=12
利用基本不等式a+b>=2根号ab，a^2+b^2>=2根号ab，得到（2+根号2）乘以根号ab大于等于12，这样就可以得到ab的最大值了，取等号的时候是a=b，即等腰直角三角形，斜边你自己求吧

设直角边分别为a,b则斜边为12-a-b
S=ab/2≤(a^2+b^2)/4
当a=b时
S(max)=(a^2+b^2)/4
此时为等腰直角三角形
斜边=√2a
即12-a-a=√2a
(2+√2)a=12
a=6(2-√2)=12-6√2
斜边=√2a=12√2-12

设三边为a,b,c,且a^2+b^2=c^2,a+b+c=12
所以a+b+√(a^2+b^2)=12
因为a+b+√(a^2+b^2)>=2√ab+√(2ab)=(2+√2)*(√ab)
所以(2+√2)*(√ab)所以√ab所以面积S的最大值为1/2*[12/(2+√2)]^2=18(2-根号2）^2
当a=b时,取"="
即c=根号2a.
c=12/(根号2+1)=12(根号2-1)