一道高二立体几何数学题在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,A1B垂直于AC1,求证：A1B垂直于B1C
问题描述：
一道高二立体几何数学题
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,A1B垂直于AC1,求证：A1B垂直于B1C
答
取B1A1中点D 连结C1D AD 因为A1C1=C1B1 所以 C1D垂直A1B1 又因为BB1垂直C1D 所以 C1D垂直面AA1B1B 所以C1A在面AA1B1B 上射影为AD 又因为A1B垂直于AC1 所以A1B垂直与AD 同理B1C在面AA1B1B上射影为AD 所以A1B垂直于B1C
答
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,A1B垂直于AC1,求证：A1B⊥B1C
证明：取A1B1的中点M,取AB的中点N,连接C1M、AM、B1N、CN
因为：B1C1=A1C1 直三棱柱ABC-A1B1C1 故：BC＝AC
故：C1M⊥A1B1 CN⊥AB 故：C1M⊥平面A1ABB1 故：C1M⊥A1B
因为：A1B⊥AC1 故：A1B⊥平面AMC1
不难证明平面AMC1‖平面CB1N （C1M‖CN AM‖B1N 平面几何）
故：A1B⊥平面CB1N
故：A1B⊥B1C