已知双曲线x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A、B,双曲线在第一象限的图象上有一点P,∠PAB=α,∠PBA=β,∠APB=γ,则(  )A. tanα+tanβ+tanγ=0B. tanα+tanβ-tanγ=0C. tanα+tanβ+2tanγ=0D. tanα+tanβ-2tanγ=0

问题描述:

已知双曲线x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A、B,双曲线在第一象限的图象上有一点P,∠PAB=α,∠PBA=β,∠APB=γ,则(  )
A. tanα+tanβ+tanγ=0
B. tanα+tanβ-tanγ=0
C. tanα+tanβ+2tanγ=0
D. tanα+tanβ-2tanγ=0

A(-a,0),B(a,0),P(x,y),
PA的斜率tanα=

y
x+a
,①
PB的斜率-tanβ=
y
x−a
,∴tanβ=-
y
x−a
,②
由x2-y2=a2
y2
x2a2
=1

①×②,得-tanαtanβ=1,
tanγ=tan[π-(β+α)]=-tan(α+β)=-
tanα+tanβ
1−tanαtanβ
=-
1
2
(tanα+tanβ)

∴tanα+tanβ+2tanγ=0.
故选C.
答案解析:A(-a,0),B(a,0),P(x,y),tanα=
y
x+a
,-tanβ=
y
x−a
,由x2-y2=a2
y2
x2a2
=1
,所以-tanαtanβ=1,tanγ=-tan(α+β)=-
tanα+tanβ
1−tanαtanβ
=-
1
2
(tanα+tanβ)
,故tanα+tanβ+2tanγ=0.
考试点:双曲线的简单性质.

知识点:本题考查双曲线的性质和应用,解题时要注意三角函数的合理运用.