答
(1)∵AB⊥MN,AC⊥AP,
∴∠ABP=∠CAP=90°.
又∵∠ACP=∠BAP,
∴△ABP∽△CAP.(1分)
∴=.
即=.(1分)
∴所求的函数解析式为y=(x>0).(1分)
(2)CD的长不会发生变化.(1分)
延长CA交直线MN于点E.(1分)
∵AC⊥AP,
∴∠PAE=∠PAC=90°.
∵∠ACP=∠BAP,
∴∠APC=∠APE.
∴∠AEP=∠ACP.
∴PE=PC.
∴AE=AC.(1分)
∵AB⊥MN,CD⊥MN,
∴AB∥CD.
∴==.(1分)
∵AB=4,
∴CD=8.(1分)
(3)∵圆C与直线MN相切,
∴圆C的半径为8.(1分)
(i)当圆C与圆P外切时,CP=PB+CD,即y=x+8,
∴=x+8,
∴x=2,(1分)
∴BP=2,
∴CP=y=2+8=10,
根据勾股定理得PD=6
∴BP:PD=.(1分)
(ii)当圆C与圆P内切时,CP=|PB-CD|,即y=|x-8|,
∴=|x−8|.
∴=x−8或=8−x.
∴x=-2(不合题意,舍去)或无实数解.(1分)
∴综上所述BP:PD=.
答案解析:(1)求y关于x的函数解析式,可以证明△ABP∽△CAP,根据相似比得出;
(2)C到MN的距离,即CD的长,可以延长CA交直线MN于点E,证明AB∥CD,由平行线的性质得出;
(3)圆C与直线MN相切,且与以BP为半径的圆P也相切,根据圆与圆的位置关系有(i)当圆C与圆P外切时,CP=PB+CD,即y=x+8,(ii)当圆C与圆P内切时,CP=|PB-CD|,即y=|x-8|,结合(1),(2)求出BP:PD的值.
考试点:直线与圆的位置关系;平行线的性质;圆与圆的位置关系;相似三角形的判定与性质.
知识点:本题难度较大,考查相似三角形的判定和性质.切线的性质及圆与圆的位置关系.