点P是正方形ABCD内一点,连PA,PB,PC,将△PAB绕点B顺时针旋转90度到△ECB的位置.若PA=2,PB=4 PC=6求对角线长

问题描述:

点P是正方形ABCD内一点,连PA,PB,PC,将△PAB绕点B顺时针旋转90度到△ECB的位置.若PA=2,PB=4 PC=6求对角线长

连接PE,因为PB=EB=4,且角PBE=90,所以PE=4倍根号2
在三角形PEC中,PC=6,EC=2,PE=4倍根号号,刚好满足勾股定理,所以根据勾股定理的逆定理可知,角PEC=90,所以角APB=角BEC=45+90=135
所以根据余弦定理,可以算出AB=根号下(20+8倍根号2)
然后乘以根号2就是对角线了。

解法提示:
连接PE
则易知△PBE是等腰直角三角形,所以PE=4√2,
因为PC=6,CE=2,PE=4√2,
所以PC^2=CE^2+PE^2
所以△AEB是直角三角形,∠PEC=90°
所以∠BEC=135°
作CF⊥BE,则CF=EF=√2
所以
CB^2=CF^2+BF^2
=(√2)^2+(√2+4)^2
=20+8√2
所以AC=√2*BC=2√(10+4√2)