已知直线L的倾斜角为45°,与椭圆x²/2+y²=1交A、B两点,若|AB|=4/3,求直线L的方程.
问题描述：
已知直线L的倾斜角为45°,与椭圆x²/2+y²=1交A、B两点,若|AB|=4/3,求直线L的方程.
答
直线L的倾斜角为45°,那么斜率k=1
设L:y=x+m代入x²/2+y²=1
得：x²/2+(x+m)²=1
整理：3x²+4mx+2m²-2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),
根据韦达定理：
x1+x2=-4m/3,x1x2=(2m²-2)/3
根据弦长公式：
|AB|=√(1+1)*√[(x1+x2)²-4x1x2]=4/3
所以√2*√[16m²/9-8(m²-1)/3]=4/3
解得m²=2,m=±√2
∴L:y=x±√2