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实数x，y满足1+cos2(2x+3y−1)＝x2+y2+2(x+1)(1−y)x−y+1，则xy的最小值是______．

分类: 作业答案 • 2022-05-20 16:04:50
问题描述：

实数x，y满足1+cos2(2x+3y−1)＝

x2+y2+2(x+1)(1−y)
x−y+1
，则xy的最小值是______．

答

∵1+cos2(2x+3y−1)＝

x2+y2+2(x+1)(1−y)
x−y+1
，
∴1+cos2(2x+3y−1)＝
x2+y2+2x+2−2xy−2y
x−y+1

∴1+cos2(2x+3y−1)＝
(x−y)2+2(x−y)+2
x−y+1

∴1+cos2(2x+3y−1)＝
(x−y+1)2+1
x−y+1

∴1+cos2(2x+3y−1)＝(x−y+1)+
1
x−y+1

∵(x−y+1)+
1
x−y+1
≥2，或(x−y+1)+
1
x−y+1
≤−2
1≤1+cos2（2x+3y-1）≤2
故1+cos2(2x+3y−1)＝(x−y+1)+
1
x−y+1
=2
此时x-y+1=1，即x=y
2x+3y-1=kπ，即5x-1=kπ，x=
kπ+1
5
（k∈Z）
xy=x2=
(kπ+1)2
25
（k∈Z）
当k=0时，xy取得最小值
1
25

故答案为：
1
25

答案解析：利用配方法，我们可将1+cos2(2x+3y−1)＝
x2+y2+2(x+1)(1−y)
x−y+1
转化为1+cos2(2x+3y−1)＝(x−y+1)+
1
x−y+1
的形式，进而根据余弦函数的性质及基本不等式，我们可得(x−y+1)+
1
x−y+1
≥2，或(x−y+1)+
1
x−y+1
≤−2，且1≤1+cos2（2x+3y-1）≤2，则1+cos2(2x+3y−1)＝(x−y+1)+
1
x−y+1
=2，进而x-y+1=1，2x+3y-1=kπ，（k∈Z），求出xy的表达式后，即可得到其最小值．
考试点：基本不等式在最值问题中的应用．
知识点：本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，其中根据已知条件，得到1+cos2(2x+3y−1)＝(x−y+1)+
1
x−y+1
=2，是解答本题的关键．

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