如图所示是永州八景之一的愚溪桥,桥身横跨愚溪,面临潇水,桥下冬暖夏凉,常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型,在正常水位下测得主拱宽24m,最高点离水面8m,以水平线AB为x轴,AB的中点为原点建立坐标系.①求此桥拱线所在抛物线的解析式.②桥边有一浮在水面部分高4m,最宽处16m的河鱼餐船,如果从安全方面考虑,要求通过愚溪桥的船只,其船身在铅直方向上距桥内壁的距离不少于0.5m.探索此船能否通过愚溪桥?说明理由.

问题描述:

如图所示是永州八景之一的愚溪桥,桥身横跨愚溪,面临潇水,桥下冬暖夏凉,常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型,在正常水位下测得主拱宽24m,最高点离水面8m,以水平线AB为x轴,AB的中点为原点建立坐标系.

①求此桥拱线所在抛物线的解析式.
②桥边有一浮在水面部分高4m,最宽处16m的河鱼餐船,如果从安全方面考虑,要求通过愚溪桥的船只,其船身在铅直方向上距桥内壁的距离不少于0.5m.探索此船能否通过愚溪桥?说明理由.

(1)设抛物线为y=ax2+c
由题意得:A(-12,0),B(12,0),C(0,8).
C点坐标代入得:c=8,
A点坐标代入得:144a+8=0,
解得:a=-

1
18

故此桥拱线所在抛物线的解析式为:y=-
1
18
x2+8;
(2)不能,
∵桥边有一浮在水面部分高4m,最宽处16m的河鱼餐船,
∴当x=8时,y=-
1
18
x2+8=-
1
18
×82+8=
40
9

40
9
-4=
4
9
<0.5米
由于船身在铅直方向上距桥内壁的距离不少于0.5m,
故不能通过.
答案解析:(1)如图可求出A、B、C的坐标,设出函数关系式,把A、C的两点坐标代入函数关系式可得a,c的值,进而得到函数关系式;
(2)根据最宽处16m的河鱼餐船,当x=8时求出y的值,再利用其船身在铅直方向上距桥内壁的距离不少于0.5m,即可求解.
考试点:二次函数的应用.

知识点:此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式,根据已知得出当x=8时,求出y的值进而得出答案是解题关键.