函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，则a=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4
问题描述：
函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，则a=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答
函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，即ax3-3x+1≥0恒成立，
①当x=0时，显然ax3-3x+1≥0成立，此时a∈R；
②当0＜x≤1时，ax3-3x+1≥0即a≥
，等价于a≥(3x−1 x3
)max，3x−1 x3
令f（x）=
，则f′（x）=3x−1 x3
，3−6x x4
当0＜x＜
时，f′（x）＞0，f（x）递增；当1 2
＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）递减；1 2
∴f（x）max=f（
）=1 2
=4，
−13 2
1 8
∴a≥4；
③当-1≤x＜0时，ax3-3x+1≥0即a≤
，等价于a≤(3x−1 x3
)min，3x−1 x3
此时f（x）=
，f′（x）=3x−1 x3
＞0，f（x）递增，3−6x x4
∴f（x）min=f（-1）=
=4，−3−1 (−1)3
∴a≤4；
综上所述，a=4．
故选D．
答案解析：函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，即ax3-3x+1≥0恒成立，分x=0，0＜x≤1，-1≤x＜0三种情况进行讨论，其中x=0时易知a的范围，另两种情况分离出参数a后转化为函数最值即可解决，而最值可用导数求出．
考试点：利用导数求闭区间上函数的最值．
知识点：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，考查恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决的能力．