已知：如图，△PQR是等边三角形，∠APB=120°求证：（1）△PQA∽△BRP；（2）AQ•RB=QR2．

答

（1）∵△PQR是等边三角形，∴∠PQR=∠PRQ=60°，∴∠PQA=∠BRP=120°，又∵∠PQR是△PQA的外角，∴∠PQR=∠APQ+∠PAQ=60°，∵∠APB=120°，∴∠PAQ+∠RBP=60°，∴∠APQ=∠RBP，∴△PQA∽△BRP；（2）∵△PQA∽△B...
答案解析：（1）由于△PQR是等边三角形，那么∠PQR=∠PRQ=60°，则∠PQA=∠BRP=120°，利用∠PQR是△PQA的外角，可得∠PQR=∠APQ+∠PAQ=60°，而∠APB=120°，利用三角形内角和定理可得∠PAQ+∠RBP=60°，于是有∠APQ=∠RBP，利用相似三角形的判定可得△PQA∽△BRP；
（2）由（1）知△PQA∽△BRP，可得比例线段

AQ

PQ

=

PR

BR

，而△PQR是等边三角形，可知PQ=QR=PR，于是有AQ•RB=QR²．
考试点：相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等边三角形的性质．
知识点：本题利用了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理．