如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等的正方形，AC1⊥平面A1DB，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1DB；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面BCC1B1（3）（理）设E是CC1上一点，试确定点E的位置，使平面A1DB⊥平面BDE，并说明理由．

答

（1）证明：连结AB₁交A₁B于点O，连接OD，
∴O为AB₁中点，又D为AC中点，
∴在△ACB₁中，OD∥CB₁．
∵CB₁⊄平面A₁DB，
OD⊂平面A₁DB，
∴B₁C∥平面A₁DB．
（2）证明：由已知可知三棱柱是直三棱柱，
∴四边形A₁ACC₁为矩形．
又AC₁⊥平面A₁DB，
A₁D⊂平面A₁DB，
∴AC₁⊥A₁D．
又D为AC的中点，
∴AA₁：AD=AC：CC₁，

1

2

AC²=AA₁•CC₁=AB²，
∴AC=

2

AB，∴AB⊥BC，
又BC⊥BB₁且BB₁∩AB=B，
∴BC⊥平面A₁ABB₁，
又BC⊂平面BCC₁B₁，
∴平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B．
（3）取CC₁中点E，连接BE，
又D为AC中点，
∴在△ACC₁中，DE∥AC₁，
又AC₁⊥平面A₁DB．
∴DE⊥平面A₁DB．
又∵DE⊂平面BDE，
∴平面A₁DB⊥平面BDE，
即当E为CC₁中点时，平面A₁DB⊥平面BDE．
答案解析：（1）连结AB₁交A₁B于点O，连接OD，利用三角形中位线的性质，证明OD∥CB₁，利用线面平行的判定定理，证明B₁C∥平面A₁DB；
（2）证明AB⊥BC，BC⊥BB₁且BB₁∩AB=B，可得BC⊥平面A₁ABB₁，利用面面垂直的判定定理证明平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁
（3）取CC₁中点E，连接BE，证明DE⊥平面A₁DB，利用面面垂直的判定定理证明平面A₁DB⊥平面BDE．
考试点：平面与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
知识点：本题考查线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行，面面垂直的判定定理是关键．