如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等的正方形，AC1⊥平面A1DB，D为AC的中点． （1）求证：B1C∥平面A1DB； （2）求证：平面A1ABB1⊥平面BCC1B1 （3）（理）设E是CC1

答

（1）证明：连结AB₁交A₁B于点O，连接OD，
∴O为AB₁中点，又D为AC中点，
∴在△ACB₁中，OD∥CB₁．
∵CB₁⊄平面A₁DB，
OD⊂平面A₁DB，
∴B₁C∥平面A₁DB．
（2）证明：由已知可知三棱柱是直三棱柱，
∴四边形A₁ACC₁为矩形．
又AC₁⊥平面A₁DB，
A₁D⊂平面A₁DB，
∴AC₁⊥A₁D．
又D为AC的中点，
∴AA₁：AD=AC：CC₁，

1

2

AC²=AA₁•CC₁=AB²，
∴AC=

2

AB，∴AB⊥BC，
又BC⊥BB₁且BB₁∩AB=B，
∴BC⊥平面A₁ABB₁，
又BC⊂平面BCC₁B₁，
∴平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B．
（3）取CC₁中点E，连接BE，
又D为AC中点，
∴在△ACC₁中，DE∥AC₁，
又AC₁⊥平面A₁DB．
∴DE⊥平面A₁DB．
又∵DE⊂平面BDE，
∴平面A₁DB⊥平面BDE，
即当E为CC₁中点时，平面A₁DB⊥平面BDE．