选修2-3 计数原理袋中装有黑球和白球共7个,从中任取两个球都是白球的概率为1/7,现在甲乙两人轮流从袋中摸一个球,甲先取乙后取,.取后不放回,直到两人中有一个取到白球时即停止,每个球每一次被取到的机会是均等的,那么甲取到白球的概率是?答案是22/35
问题描述：
选修2-3 计数原理
袋中装有黑球和白球共7个,从中任取两个球都是白球的概率为1/7,现在甲乙两人轮流从袋中摸一个球,甲先取乙后取,.取后不放回,直到两人中有一个取到白球时即停止,每个球每一次被取到的机会是均等的,那么甲取到白球的概率是?
答案是22/35
答
设白球有n个，
C(n2)/C(72)=1/7
[n(n-1)/2]/[7*(7-1)/2]=1/7
n=3或n=-2(舍去）
所以白球有3个，黑球有4.个
甲第一次取到白球的概率为3/7
甲第三次取到白球的概率为4/7×3/6×3/5=6/35
(说明;甲黑4/7乙黑3/6甲白3/5)
甲第五次取到白球的概率为4/7×3/6×2/5×1/4×1=1/35
(说明;甲黑4/7乙黑3/6甲黑2/5乙黑1/4甲必白1)
3/7+6/35+1/35=22/35
答
设袋中有白球x个
7个球任取2个的取法有：C(7,2)=7*6/2*1=21种
x个白球任取2个的取法有：C(x,2)=x(x-1)/2*1=(x²-x)/2
从中任取两个球都是白球的概率为1/7：(x²-x)/2/21=1/7
x²-x-6=0
(x-3)(x+2)=0
x1=3 x2=-2(舍去)
因此,袋中有黑球4个、白球3个.
设甲取白球为A、甲取黑球为A-,乙取白球为B,乙取黑球为B-
甲取到白球的概率：P(A)+P(A-B-A)+P(A-B-A-B-A)
=3/7+4/7*3/6*3/5+4/7*3/6*2/5*1/4*3/3)
=(3*6*5*4*3+4*3*3*4*3+4*3*2*1*3)/(7*6*5*4*3)
=(3*5+6+1)/(7*5)
=22/35