光滑的长轨道形状如图所示,底部为半圆型,半径为R,固定在竖直平面内.AB两质量相同的小环用长为R的轻杆连接在一起,套在轨道上.将AB两环从图示位置静止释放,A环离开底部2R.不考虑轻杆和轨道的接触,即忽略系统机械能的损失,求:(1)AB两环都未进入半圆型底部前,杆上的作用力.(2)A环到达最低点时,两环速度大小.(3)若将杆换成长22R,A环仍从离开底部2R处静止释放,经过半圆型底部再次上升后离开底部的最大高度.

问题描述:

光滑的长轨道形状如图所示,底部为半圆型,半径为R,固定在竖直平面内.AB两质量相同的小环用长为R的轻杆连接在一起,套在轨道上.将AB两环从图示位置静止释放,A环离开底部2R.不考虑轻杆和轨道的接触,即忽略系统机械能的损失,求:

(1)AB两环都未进入半圆型底部前,杆上的作用力.
(2)A环到达最低点时,两环速度大小.
(3)若将杆换成长2

2
R,A环仍从离开底部2R处静止释放,经过半圆型底部再次上升后离开底部的最大高度.

(1)对整体分析,*落体,加速度g,以A为研究对象,A作*落体则杆对A一定没有作用力.即F=0
故AB两环都未进入半圆型底部前,杆上的作用力为零.
(2)AB都进入圆轨道后,两环具有相同角速度,则两环速度大小一定相等,即VA=VB
对整体依机械能守恒定律,有:mg•2R+mg•

5
2
R=
1
2
•2mv2
解得
v=
9
2
gR

故A环到达最低点时,两环速度大小均为
9
2
gR

(3)由于杆长超过了半圆直径,故最后A环在下,如图;作业帮
设A再次上升后,位置比原来高h,如下图所示.
由机械能守恒,有:-mgh+mg(2
2
R-2R-h)=0

解得h=(
2
-1)R
,故A离开底部(
2
+1)R

故若将杆换成长2
2
R,A环仍从离开底部2R处静止释放,经过半圆型底部再次上升后离开底部的最大高度为(
2
+1)R

答案解析:(1)两个环以及连杆整体*下落,处于完全失重状态,故杆上弹力为零;
(2)A环到达最低点时,两环具有相同角速度,则两环速度大小一定相等;根据几何关系找到B环的位置,然后根据机械能守恒定律列式求解出各自的速度;
(3)由于杆长超过了半圆直径,故A环一直在下方,速度为零时,结合几何关系并根据机械能守恒定律列方程求解即可求解出高度.
考试点:机械能守恒定律;*落体运动.
知识点:本题关键是根据几何关系多次得到环的具体位置,然后根据机械能守恒定律列方程求解即可.