已知sin(2α-β)=35,sinβ=-1213,且α∈(π2,π),β∈(-π2,0).求sinα的值.

问题描述:

已知sin(2α-β)=

3
5
,sinβ=-
12
13
,且α∈(
π
2
,π)
β∈(-
π
2
,0)
.求sinα的值.

π
2
<α<π,∴π<2α<2π,
-
π
2
<β<0
,∴0<-β<
π
2

π<2α-β<
2
,又sin(2α-β)=
3
5
>0

2π<2α-β<
2
,cos(2α-β)=
4
5

-
π
2
<β<0
,且sinβ=-
12
13

cosβ=
5
13

∴cos2α=cos[(2α-β)+β]
=cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ
=
4
5
×
5
13
-
3
5
×(-
12
13
)=
56
65

∵cos2α=1-2sin2α,∴sin2α=
9
130

α∈(
π
2
,π)

sinα=
3
130
130

答案解析:由α和β的范围,求出2α-β的范围,再根据sin(2α-β)的值大于0,得到2α-β的具体范围,可得的cos(2α-β)的值大于0,利用同角三角函数间的基本关系求出cos(2α-β)的值,同时由sinβ的值及β的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值,把cos2α式子中的角2α变为(2α-β)+β,利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各种的值代入求出cos2α的值,再由二倍角的余弦函数公式化简cos2α,列出关于sinα的方程,由α的范围,开方即可求出sinα的值.
考试点:两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系;二倍角的余弦.
知识点:此题考查了两角和与差的余弦函数公式,二倍角的余弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键,同时注意角度的范围.