答
∵<α<π,∴π<2α<2π,
又-<β<0,∴0<-β<,
∴π<2α-β<,又sin(2α-β)=>0,
∴2π<2α-β<,cos(2α-β)=,
又-<β<0,且sinβ=-,
∴cosβ=,
∴cos2α=cos[(2α-β)+β]
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=cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ |
=×-×(-)=, |
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∵cos2α=1-2sin2α,∴sin2α=,
又α∈(,π),
∴sinα=.
答案解析:由α和β的范围,求出2α-β的范围,再根据sin(2α-β)的值大于0,得到2α-β的具体范围,可得的cos(2α-β)的值大于0,利用同角三角函数间的基本关系求出cos(2α-β)的值,同时由sinβ的值及β的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值,把cos2α式子中的角2α变为(2α-β)+β,利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各种的值代入求出cos2α的值,再由二倍角的余弦函数公式化简cos2α,列出关于sinα的方程,由α的范围,开方即可求出sinα的值.
考试点:两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系;二倍角的余弦.
知识点:此题考查了两角和与差的余弦函数公式,二倍角的余弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键,同时注意角度的范围.