微积分解决力与速度成正比的问题
问题描述：
微积分解决力与速度成正比的问题
物体初速度为v0,如果物体所受合力F=0.25v,v是物体的速度.则物体经过位移d后速度为多少?
答
所提问题应属于直线运动的.题目缺少一个条件：物体的质量m .
由动量定理得 F* dt ＝m*dV ,m是物体质量
即 0.25*V dt ＝m dV
dV / V＝dt / (4m)
两边积分,得 lnV＝[ t / (4m) ]＋C1 ,C1是积分常数
由初始条件：t＝0时,V＝V0,得 C1＝lnV0
得 ln(V / V0)＝ t / (4m)
V＝V0*e^[t / (4m) ]
又因为速度等于位置矢量对时间的一阶导数
V＝dS / dt
dS / dt＝V0*e^[t / (4m) ]
dS＝V0*e^[t / (4m) ] dt
两边积分,得 S＝4m*V0*e^[t / (4m) ]＋C2 ,C2是积分常数
由初始条件：t＝0时,S＝0,得 C2＝－4m*V0
所以 S＝4m*V0*e^[t / (4m) ]－4m*V0
将 V＝V0*e^[t / (4m) ] 代入上式
得 S＝4m*(V－V0)
当位移S＝d时,速度是 V＝[ d / (4m) ]＋V0