如图1,已知,CE是Rt△ABC的斜边AB上的高,点P是CE的延长线上任意一点,BG⊥AP, 求证:(1)△AEP∽△DEB;(2)CE2=ED•EP. 若点P在线段CE上或EC的延长线上时(如图2和图3),上述结论CE2=ED•E

问题描述:

如图1,已知,CE是Rt△ABC的斜边AB上的高,点P是CE的延长线上任意一点,BG⊥AP,
求证:(1)△AEP∽△DEB;(2)CE2=ED•EP.
若点P在线段CE上或EC的延长线上时(如图2和图3),上述结论CE2=ED•EP还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(图2和图3挑选一张给予说明即)

证明:(1)∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高,BG⊥AP,
∴∠P+∠PAE=90°,∠DBE+∠PAE=90°,
∴∠P=∠DBE,
又∠AEP=∠DEB=90°,
∴△AEP∽△DEB;
(2)选图2.成立,理由如下:
∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高,
∴△ACE∽△CBE,

CE
AE
BE
CE

即CE2=AE•BE.
和(1)中的证明同理,得△AEP∽△DEB,
AE
ED
EP
BE

即AE•BE=ED•EP,
∴BE=
ED•EP
AE
,即AE•BE=ED•EP,
又CE2=AE•BE,
∴CE2=ED•EP.