多项式p(x)=x2+bx+c(b.c为整数)是多项式f(x)=x4+6x2+25和 g(x)=3x4+4x2+28x+5的公因式,求 p(l) 的值?

答案是4,详细过程如下:
由题意:f(x)=x^4+6x²+25的一个因式是p(x)=x²+bx+c,设f(x)的另外一个因式是x²+ax+d,同理设g(x)的另一个因式是3x²+ex+f
即:(x2+bx+c)(x²+ax+d)=x4+6x2+25 (1)
(x2+bx+c)(3x²+ex+f)=3x4+4x2+28x+5 (2)
对(1)进行化简:
(x²+bx+c)(x²+ax+d)=x^4+6x²+25
x^4+ax^3+dx²+bx^3+abx²+bdx+cx²+acx+cd=x^4+6x²+25
x^4+(a+b)x^3+(d+ab+c)x²+(bd+ac)x+cd=x^4+6x²+25
所以:
a+b=0 (3)
d+ab+c=6 (4)
bd+ac=0 (5)
cd=25 (6)
由(3)得a=-b代入(5)得:
bd-bc=0
d=c
代入(6)得d=c=±5
又由(5)得d+c=a²+6>0
所以c=d=5
a=2,b=-2 (7)
或a=-2,b=2 (8)
(3x²+ex+f)(x²+bx+c)=3x^4+4x²+28x+5
3x^4+3bx^3+3cx²+ex^3+bex²+cex+fx²+bfx+cf=3x^4+4x²+28x+5
3x^4+(3b+e)x^3+(3c+be+f)x²+(ce+bf)x+cf=3x^4+4x²+28x+5
所以:
3b+e=0
3c+be+f=4
ce+bf=28
cf=5
因为由多项式f(x)=x4+6x2+25已经得出c=5,所以:
由cf=5得,f=1,将c=5,f=1代入ce+bf=28中得:5e+b=28
而由3b+e=0得:e=-3b,代入5e+b=28中得:b=-2
结合第一个多项式推出的(7)得:
b=-2,c=5
所以:多项式p(x)=x²+bx+c的表达式是:
p(x)=x²-2x+5
p(1)=1-2+5=4