设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线L1,L2上的三点,M,N,P,Q是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点求证:M,N,P,Q共面
问题描述：
设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线L1,L2上的三点,M,N,P,Q是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点求证:M,N,P,Q共面
请把详细的过程写下来,急用,
答
设:L1,L2分别在相互平行的平面α,β上.
连接:MN,NP,MP,由中位线定理知MN//AB,NP//A1B1.且知M,N,P不共线.因为否则将导致L1//L2.
由此:MN//α,NP//β.,(平行于平面上的一条直线,就平行于这个平面)
再由于α//β,知:MN//β (平行于平行平面中的一个,必平行于另一个)
即知:平面MNP//β (若两相交直线分别平行于同一平面,则它们所决定的平面与该平面平行)
设:M,N,P所决定的平面为γ.则知:α//β//γ .且知γ到平面α,β的距离相等.
容易证明:对于任意:α上的点U和,β上的点V,线段UV总是被平面γ所平分.自然CC1的中点Q必然在平面γ上.即知:M,N,P,Q共面.