如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,E、F是AD、BC的中点,EF分别交AC、BD于M、N,且OM=ON. 求证:AC=BD.

问题描述:

如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,E、F是AD、BC的中点,EF分别交AC、BD于M、N,且OM=ON.
求证:AC=BD.

证明:
取AB和CD的中点分别为G、H,连接EG、GF、FH、EH,
则EH∥AC,EH=

1
2
AC,HF∥BD,FH=
1
2
BD,
∴∠3=∠2,∠1=∠4,
∵OM=ON,
∴∠1=∠2,
∴∠4=∠3=∠1=∠2,
同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2,
∴∠4=∠EFH,
∴EH=HF,
∵EH=
1
2
AC,FH=
1
2
BD,
∴AC=BD.