A是半正定矩阵,有f(x)=X'AX,f(y)=Y'AY,证明:(X'AY)(X'AY)

问题描述:

A是半正定矩阵,有f(x)=X'AX,f(y)=Y'AY,证明:(X'AY)(X'AY)

这个不等式,在矩阵的合同变换下,是等价的.
正定矩阵,合同于单位矩阵.
半正定矩阵,合同于单位矩阵搭配上全零矩阵,就是
[ I 0
0 0]的样子.
所以,去掉那些零矩阵(没用的量,不影响结果),实际上对于A半正定的条件,我们可以直接假定A=I.
所以,相当于要证明(X'Y)(X'Y)A是半正定矩阵,有f(x)=X'AX,f(y)=Y'AY,证明:(X'AY)(X'AY)