已知以向量v＝(1，1/2)为方向向量的直线l过点(0，5/4)，抛物线C：y2=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，
问题描述：
已知以向量
＝(1，v
)为方向向量的直线l过点(0，1 2
)，抛物线C：y2=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．5 4
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若
•OA
+p2＝0（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程． OB
答
（Ⅰ）由题意可得直线l：y＝
x+1 2
①5 4
过原点垂直于l的直线方程为 y=-2x ②
解①②得x＝−
，即两直线的交点的横坐标为x＝−1 2
．1 2
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
∴−
＝−p 2
×2，p=21 2
∴抛物线C的方程为y2=4x．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），
由
•OA
+p2＝0，得x1x2+y1y2+4=0．OB
又y12＝4x1，y22＝4x2．
代入上式
+y1y2+4=0．
y
21
y
22
16
解得y1y2=-8
又直线ON：y＝
x，即y＝y2 x2
x 4 y2
∵y=y1，∴y1y2=4x
∵y1y2=-8
∴x=-2（y≠0）．
∴点N的轨迹方程为x=-2（y≠0）．