圆锥曲线 计算题已知抛物线 y2=4x 焦点为F 过定点K(-1,0)的直线L与抛物线交于A B两点点A 关于x轴的对称点为D(1)证明点F在直线BD上(2)设向量FA×向量FB=8/9 求△BDK的内切圆方程

问题描述:

圆锥曲线 计算题
已知抛物线 y2=4x 焦点为F 过定点K(-1,0)的直线L与抛物线交于A B两点
点A 关于x轴的对称点为D
(1)证明点F在直线BD上
(2)设向量FA×向量FB=8/9 求△BDK的内切圆方程

设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程为x=my-1(m≠0).
⑴、证明:将x=my-1带入y²=4x并整理得y²-4my+4=0,从而y1+y2=4m,y1y2=4.
直线BD的方程为y-y2=(y1+y2)(x-x2)/(x2-x1),即y-y2=4/(y2-y1)×(x-y²2/4).
令y=0,x=y1y2/4=1,所以点F(1,0)在直线BD上.
⑵有⑴知,
x1+x2=4m²-2,x1x2=1.∵向量FA=(x1-1,y1),向量FB=(x2-1,y2),
二者的积=(x1-1)(x2-1)+y1y2=8-4m²,故8-4m²=8/9,m=±4/3,
所以l的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0,
又有⑴知y2-y1=±√(16m²-16)=±4√7/3,故BD斜率=4/(y2-y1)=±3/√7,
因而BD方程为3x+√7y-3=0,3x-√7y-3=0.因而KF为∠BKD的平分线,故可设圆心M(t,0)(-1<t<1).M到l及BD的距离分别为3|t+1|/5,3|t-1|/4,二者相等得t=1/9,或t=9(舍).
故圆M的半径r=3|t+1|/5=2/3.所以所求圆的方程为(x-1/9)²+y²=4/9.