半径为r的球被固定在水平面上,设球的顶点为P.
问题描述：
半径为r的球被固定在水平面上,设球的顶点为P.
1）将小物体自P点沿水平方向以初速度V0抛出,要使小物体不接触球面而直接落地,V0应多大?
（2）要使小物体自P点*下滑而落到地上,它脱离球面处离地面有多高?
答
(1)以球心为原点建系,则小物体是从(0,r)处被抛出,其运动轨迹满足方程
x=v0*t,y=r-0.5*g*t^2,
与球的方程x^2+y^2=r^2联立,得方程
t^2(v0^2+0.25*g^2*t^2-r*g)=0
明显这个方程必有解t=0(这是因为一开始小物体必在球上)
那么为了让t>0时无解,我们就是要让v0^2+0.25*g^2*t^2-r*g=0无解,这是关于t的二次方程,无论是怎么玩都可以得到其无解当且仅当g*r-v0^2sqrt(g*r)
(2)坐标系同(1),设小物体是从(rcos(a),rsin(a))处离开球的,那么由机械能守恒得
mg(r-rsin(a))=0.5mv^2.(i)
再根据在这点处球对小物体的支持力为0,向心力完全由重力的分量提供,可得
mv^2/r=mgsin(a).(ii)
联立(i)和(ii)可得
sin(a)=2/3,也就是离地高度为2r/3非常感谢！ 但第二问好像有问题（5r/3)抱歉,坐标系的问题,我的坐标系的原点定在了球心,因此是(0,2r/3),如果是从球最下面(0,-r)当作水平面开始算的话那的确应该再加上个r.