a是大于零的实数，已知存在惟一的实数k，使得关于x的二次方程x2+（k2+ak）x+1999+k2+ak=0的两个根均为质数．求a的值．

分类: 作业答案 • 2022-04-27 23:34:53

问题描述：

a是大于零的实数，已知存在惟一的实数k，使得关于x的二次方程x²+（k²+ak）x+1999+k²+ak=0的两个根均为质数．求a的值．

答

设方程的两个质数根为p﹑q．由根与系数的关系，有
p+q=-（k²+ak），①
pq=1999+k²+ak，②
①+②，得p+q+pq=1999，
则（p+1）（q+1）=2⁴×5³．③
由③知，p、q显然均不为2，所以必为奇数．
故

p+1

和

q+1

均为整数，且

p+1

•

q+1

=2²×5³，
若

p+1

为奇数，则必

p+1

=5^r（r=1，2，3），从而，p=2×5^r-1为合数，矛盾．
因此，

p+1

必为偶数．同理，

q+1

也为偶数．
所以，

p+1

和

q+1

均为整数，且

p+1

•

q+1

=5³．
不妨设p≤q，则

p+1

=1或5．
当

p+1

=1时，

q+1

=5³，得p=3，q=499，均为质数．
当

p+1

=5时，

q+1

=5²，得p=19，q=99，q为合数，不合题意．
综上可知，p=3，q=499．
代入①得k²+ak+502=0．④
依题意，方程④有惟一的实数解．
故△=a²-4×502=0．
解得a=2

502

．