下图是一纸杯,它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥.该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB.经测量,纸杯上开口圆的直径为6cm,下底面直径为4cm,母线长EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这个

问题描述:

下图是一纸杯,它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥.该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB.经测量,纸杯上开口圆的直径为6cm,下底面直径为4cm,母线长EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积.(面积计算结果用π表示).

由题意可知:

BA
=6π,
CD
=4π,设∠AOB=n,AO=R,则CO=R-8,
由弧长公式得:
nπR
180
=6π,
nπ(R-8)
180
=4π,
6×180=nR
4×180=nR-8n

解得:n=45,R=24,
故扇形OAB的圆心角是45度.
∵R=24,R-8=16,
∴S扇形OCD=
1
2
×4π×16=32π(cm2),
S扇形OAB=
1
2
×6π×24=72π(cm2),
纸杯侧面积=S扇形OAB-S扇形OCD=72π-32π=40π(cm2),
纸杯底面积=π•22=4π(cm2
纸杯表面积=40π+4π=44π(cm2).