某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）

答

（1）设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x₀个，
则x0=100+

60-51

0.02

=550（个）
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．…（2分）
（2 ）当0≤x≤100时，p=60；…（3分）
当100<x<550时，p=60-0.02(x-100)=62-

x

50

；…（4分）
当x≥550时，p=51．…（5分）
所以p=

60(0<x≤100) 62- x 50 (100<x<550) 51(x≥550)

(x∈N*)…（6分）
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L=(p-40)x=

20x(0<x≤100) 22x- x2 50 (100<x<550)(x∈N*) 11x(x≥550)

…（9分）
当0<x≤100时，L≤2000；…（10分）
当x≥500时，L≥6050；…（11分）
当100<x<550时，L=22x-

x2

50

．
由

22x- x2 50 =6000 100<x<550

，解得x=500．
答：当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润为6000元．…（13分）
答案解析：（1）根据当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，可求得一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元；
（2）函数为分段函数，当0≤x≤100时，p为出厂单价；当100＜x＜550时，p＝60−0.02(x−100)＝62−

x

50

；当x≥550时，p=51，故可得结论；
（3）根据工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本，求出利润函数，利用利润为6000元，可求得结论．
考试点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用．
知识点：本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定分段函数模型．