如图,已知,在空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E是AB的中点.(1)求证:平面CDE⊥平面ABC;(2)若AB=DC=3,BC=5,BD=4,求几何体ABCD的体积;(3)若G为△ADC的重心,试在线段AB上找一点F,使得GF∥平面CDE.

问题描述:

如图,已知,在空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E是AB的中点.
作业帮
(1)求证:平面CDE⊥平面ABC;
(2)若AB=DC=3,BC=5,BD=4,求几何体ABCD的体积;
(3)若G为△ADC的重心,试在线段AB上找一点F,使得GF∥平面CDE.

作业帮(1)证明:∵BC=AC,E为AB的中点,
∴AB⊥CE.
又∵AD=BD,E为AB的中点
∴AB⊥DE.
∵DE∩CE=E
∴AB⊥平面DCE
∵AB⊂平面ABC,
∴平面CDE⊥平面ABC.
(2)∵在△BDC中,DC=3,BC=5,BD=4,
∴CD⊥BD,
在△ADC中,DC=3,AD=BD=4,AC=BC=5,
∴CD⊥AD,
∵AD∩BD=D∴CD⊥平面ABD.所以线段CD的长
是三棱锥C-ABD的高
又在△ADB中,DE=

16-
9
4
=
55
2

∴VC-ABD=
1
3
1
2
•3•
55
2
•3=
3
55
4

(3)在AB上取一点F,使AF=2FE,则可得GF∥平面CDE
取DC的中点H,连AH、EH
∵G为△ADC的重心,
∴G在AH上,且AG=2GH,连FG,则FG∥EH
又∵FG⊄平面CDE,EH⊂平面CDE,
∴GF∥平面CDE
答案解析:(1)先证出直线AB与平面上的两条相交直线垂直,得到线面垂直,而线又在一个平面上,得到面面垂直.
(2)要求的几何体是一个三棱锥,线段CD的长是三棱锥C-ABD的高,做出对应的底面的面积,根据三棱锥的体积公式做出结果.
(3)在AB上取一点F,使AF=2FE,则可得GF∥平面CDE,取DC的中点H,连AH、EH,根据G为△ADC的重心,得到G在AH上,且AG=2GH,连FG,则FG∥EH,再说明线在平面上,得到结论.
考试点:["平面与平面垂直的判定","棱柱、棱锥、棱台的体积","直线与平面平行的判定"]
知识点:本题考查空间几何体的点线面之间的关系的证明,本题解题的关键是熟练所学的判定定理和性质定理,这里反复使用定理来解题.