若正四面体S-ABC的面ABC内有一动点P分别到平面SAB、平面SBC、平面SAC的距离成等差数列,则点P的轨迹是( )A. 一条线段B. 一个点C. 一段圆弧D. 抛物线的一段
问题描述:
若正四面体S-ABC的面ABC内有一动点P分别到平面SAB、平面SBC、平面SAC的距离成等差数列,则点P的轨迹是( )
A. 一条线段
B. 一个点
C. 一段圆弧
D. 抛物线的一段
答
设点P到三个面的距离分别是d1,d2,d3
因为正三棱锥的体积为定值,所以d1+d2+d3为定值,
因为d1,d2,d3成等差数列,
所以d1+d3=2d2
∴d2为定值,
所以点P的轨迹是平行BC的线段.
故选A.
答案解析:根据正四面体的体积为定值,可知P到三棱锥S-ABC的侧面SAB、侧面SBC、侧面SAC的距离和为定值,又P到三棱锥S-ABC的侧面SAB、侧面SBC、侧面SAC的距离依次成等差数列,故P到侧面SBC的距离为定值,从而得解.
考试点:等差数列的性质;抛物线的定义.
知识点:本题以等差数列为载体,考查正三棱锥中的轨迹问题,关键是分析得出P到侧面SBC的距离为定值.