三角形ABC中,BP,CP分别是角B,角C的外角平分线,求证：角BPC=90°—1/2角BAC.
问题描述：
三角形ABC中,BP,CP分别是角B,角C的外角平分线,求证：角BPC=90°—1/2角BAC.
答
∵∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)
∴1/2∠BAC=90°-1/2(∠ABC+∠ACB)
∴1/2(∠ABC+∠ACB)=90°-1/2∠BAC
∵∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)
∠PBC=(180°-∠ABC)÷2=90°-1/2∠ABC
∠PCB=(180°-∠ACB)÷2=90°-1/2∠ACB
∴∠PBC+∠PCB=∠180°-1/2(∠ABC+∠ACB)
∴∠BPC=1/2(∠ABC+∠ACB)
∴∠BPC=90°-1/2∠BAC
答
要证角BPC=90°—1/2角BAC,即证2角BPC=180°—角BAC.
过P点分别作ab,ac延长线和bc的垂线,垂足分别为D,E,F.
由于BP,CP分别是角B,角C的外角平分线,可知BP,CP分别为角DPF和角EPF的角平分线,也就知道角DPE=2倍角BPC.
对于四边形ADPE,由于有两个角为直角,可知道角DAE+角DPE=180.
把角DPE=2倍角BPC代人上面,可以得到2倍角BPC+角DPE=180.
再移项可得2角BPC=180°—角BAC,再除以2,得证.