以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径为2,大圆的弦AB与小圆交于点C,D,且角COD=60度,且C是AD中点(1)求大圆半径R(2)若大圆的弦AE切小圆于F,求AE长

问题描述:

以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径为2,大圆的弦AB与小圆交于点C,D,且角COD=60度,且C是AD中点
(1)求大圆半径R
(2)若大圆的弦AE切小圆于F,求AE长

1∵CO=DO,∠COD=60°;
∴△COD是等边三角形;取CD的中点M,连接OM,则OM⊥CD;
∵CO=2,
连接AO,在Rt△AOM中,AM= 3∴OM=√ 3/2CO= √3.
/2CD=3;
∴AO= √OM2+AM2= √3+9=2 √3.
即大圆的半径长为2 √3.
2连接OF.
∵AE是小圆的切线,且切点为F;
∴OF⊥AE.
又∵AE为大圆的弦,
所以
AE=2AF.有:AF2=AC•AD;
∵AC=AD=2,AD=2CD,
∴AF=2 √2;
∴AE=2AF=4√ 2
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因为角COD=60,OC=OD,所以三角形OCD是等边三角形,所以CD=OC=OD=2,三个角都是60度,因为C是AD的中点,所以AC=CD=OC=2,所以角OAC=角AOC,且角OAC+角AOC=角OCD(补角定理)=60度,所以角AOD=角AOC+角COD=90度,即,三角形AOD是直角三角形,根据勾股定理的OA的平方+OD的平方=AD的平方,得出OA的平方=16-4=12,所以OA=(2倍根号3)
即R=(2倍根号3)
因为OF垂直于AF,所以三角形AOF是直角三角形,由(1)得,OA=(2倍根号3),OF=2,所以AF的平方=12-4=8,所以AF=2倍根号2,AE=2AF=4倍根号2

1∵CO=DO,∠COD=60°;
∴△COD是等边三角形;
取CD的中点M,连接OM,则OM⊥CD;
∵CO=2,
∴OM=√ 3/2CO= √3.
连接AO,在Rt△AOM中,AM= 3/2CD=3;
∴AO= √OM2+AM2= √3+9=2 √3.
即大圆的半径长为2 √3.
2连接OF.
∵AE是小圆的切线,且切点为F;
∴OF⊥AE.
又∵AE为大圆的弦,
∴AE=2AF.
有:AF2=AC•AD;
∵AC=AD=2,AD=2CD,
∴AF=2 √2;
∴AE=2AF=4√ 2.