数字黑洞 6174 为什么算到最后会是6174?

四位数总共有9999-999=9000个,其中除去四个数字全相同的,余下9000-10=8990个数字不全相同．
我们首先证明,变换T把这8990个数只变换成54个不同的四位数．
设a、b、c、d是M的数字,并：
a≥b≥c≥d
因为它们不全相等,上式中的等号不能同时成立．
我们计算T(M)
M(减)=1000a+100b+10c+d 　　M(增)=1000d+100c+10b+a 　　T(M)= D1= M(减)-M(增)=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=999(a-d)+90(b-c)
我们注意到T(M)仅依赖于（a-d）与（b－c）,因为数字a,b,c,d不全相等,因此由a≥b≥c≥d可推出；a-d>0而b-c≥0．
此外b、c在a与d之间,所以a-d≥b-c,这就意味着a-d可以取1,2,…,9九个值,并且如果它取这个集合的某个值n,b-c只能取小于n的值,至多取n．
例如,若a-d=1,则b-c只能在0与1中选到,在这种情况下,T(M)只能取值：
999×(1)+90×(0)=0999 　　999×(1)+90×(1)=1089
类似地,若a-d=2,T(M)只能取对应于b-c=0,1,2的三个值．把a-d=1,a-d=2,…,a-d=9的情况下b-c所可能取值的个数加起来,我们就得到2+3+4+…+10=54
这就是T(M)所可能取的值的个数．在54个可能值中,又有一部分是数码相同仅仅是数位不同的值,这些数值再变换T(M)中都对应相同的值（数学上称这两个数等价）,剔除等价的因数,在T(M)的54个可能值中,只有30个是不等价的,它们是：　　9990,9981,9972,9963,9954,9810,9711,9621,9531,9441,8820,8730,8721,8640,8622,8550,　　8532,8442,7731,7641,7632,7551,7533,7443,6642,6552,6543,5553,5544．
对于这30个数逐个地用上述法则把它换成最大与最小数的差,至多6步就出现6174这个数．