证明数列x1=√2,x2=√(2+√2),x3=√(2+√(2+√2))...的极限存在并求出极限.
问题描述：
证明数列x1=√2,x2=√(2+√2),x3=√(2+√(2+√2))...的极限存在并求出极限.
答
Xn*Xn=Xn-1 + 2
所以
Xn/Xn-1=Xn/(Xn*Xn-2)=1/(Xn-2/Xn)
答
先证明极限存在，单增是显然的，因此只要证明有上界就行了。
递推公式为：x(n+1)=√(2+xn) 这里n和n+1都是下标
下面证明xnx1=√2则x(k+1)=√(2+xk) 因此数列单增有上界， 则极限存在。
设极限为a，则x(n+1)=√(2+xn)两边取极限得：a=√(2+a)
即a^2-a-2=0，解得a=2或-1(舍)
因此极限为2
答
先证明极限存在,单增是显然的,因此只要证明有上界就行了.
递推公式为：x(n+1)=√(2+xn) 这里n和n+1都是下标
下面证明xn