已知不等式组x2−x+a−a2<0x+2a>1的整数解恰好有两个,求a的取值范围是______.

问题描述:

已知不等式组

x2−x+a−a2<0
x+2a>1
的整数解恰好有两个,求a的取值范围是______.

不等式组

x2−x+a−a2<0
x+2a>1
,即
(x−a)[x−(1−a)]<0
x>1−2a

①当a=1-a时,即a=
1
2
时,x无解.
②当a>1-a时,即a>
1
2
时,不等式组的解集为(1-a,a),
再根据此解集包含2个整数解,可得 1-a<0,且a≤2,解得1<a≤2.
③当a<1-a时,即a<
1
2
时,
若0≤a<
1
2
,不等式组的解集为(1-2a,1-a),无整数解,不满足题意.
若a<0,不等式组的解集为∅,不满足题意.
综上可得,1<a≤2,
故答案为:(1,2].
答案解析:不等式组即
(x−a)[x−(1−a)]<0
x>1−2a
,再由题意分①当a=1-a时、②当a>1-a时、③当a<1-a时三种情况分别求得a的范围,再取并集,即得所求.
考试点:其他不等式的解法.
知识点:本题主要考查其它不等式的解法,体现了等价转化和分类讨论的数学思想,属于基础题.