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如图，已知椭圆C的方程为：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0），B是它的下顶点，F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线分别交于P、Q两点，若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率是______．

分类: 作业答案 • 2022-04-17 13:32:44
问题描述：

如图，已知椭圆C的方程为：

x2
a2
+
y2
b2
＝1（a＞b＞0），B是它的下顶点，F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线分别交于P、Q两点，若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率是______．

答

依题意可知直线BP的方程为y=

b
c
x-b，
∵P恰好是BQ的中点，∴xp=
a2
2c
，
∴yp=b（
a2
2c 2
-1）代入椭圆方程得
a2
4c2
+（
a2
2c2
-1）2=1，
解得
a
c
=
 3
，
∴椭圆的离心率为
c
a
=
 3
3
，
故答案为
 3
3
．
答案解析：根据B，F点坐标可知直线BP的方程，进而根据P恰好是BQ的中点求得P点横坐标，代入直线方程后求得P点纵坐标代入椭圆方程即可求得a和c的关系，进而求得椭圆的离心率．
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．

知识点：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

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