阅读下列材料:1×2=13(1×2×3-0×1×2),2×3=13(2×3×4-1×2×3),3×4=13(3×4×5-2×3×4),由以上三个等式相加,可得:1×2+2×3+3×4=13×3×4×5=20.读完以上材料,请你计算下列各题:(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11(写出过程);(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=______;(3)1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=______.

问题描述:

阅读下列材料:
1×2=

1
3
(1×2×3-0×1×2),
2×3=
1
3
(2×3×4-1×2×3),
3×4=
1
3
(3×4×5-2×3×4),
由以上三个等式相加,可得:
1×2+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5=20.
读完以上材料,请你计算下列各题:
(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11(写出过程);
(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=______;
(3)1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=______.

1×2=

1
3
(1×2×3-0×1×2);
2×3=
1
3
(2×3×4-1×2×3);
3×4=
1
3
(3×4×5-2×3×4);

10×11=
1
3
(10×11×12-9×10×11);

n×(n+1)=
1
3
[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)].
(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11
=
1
3
(1×2×3-0×1×2)+
1
3
(2×3×4-1×2×3)+
1
3
(3×4×5-2×3×4)+…+
1
3
(10×11×12-9×10×11)
=
1
3
(10×11×12)=440;
(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)
=
1
3
(1×2×3-0×1×2)+
1
3
(2×3×4-1×2×3)+
1
3
(3×4×5-2×3×4)+…+
1
3
[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]=
1
3
[n×(n+1)×(n+2)];
(3)1×2×3=
1
4
(1×2×3×4-0×1×2×3);
2×3×4=
1
4
(2×3×4×5-1×2×3×4);
3×4×5=
1
4
(3×4×5×6-2×3×4×5);

7×8×9=
1
4
(7×8×9×10-6×7×8×9);
∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9
=
1
4
(1×2×3×4-0×1×2×3)+
1
4
(2×3×4×5-1×2×3×4)+
1
4
(3×4×5×6-2×3×4×5)+…+
1
4
(7×8×9×10-6×7×8×9);
=
1
4
(7×8×9×10)=1260.
答案解析:可得规律:a×b=
1
3
[a×b×(b+1)-(a-1)×a×b].
考试点:规律型:数字的变化类.
知识点:本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.