求证：以过抛物线y^2=2px焦点的弦为直径的圆,比与此抛物线的准线相切
问题描述：
求证：以过抛物线y^2=2px焦点的弦为直径的圆,比与此抛物线的准线相切
答
焦点(p/2,0) 设过焦点的直线斜率为 k
直线方程y=kx-kp/2
联立抛物线方程
y^2=2px
y=kx-kp/2 消y得
k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2p^2/4=0 x1x2=p^2/4 x1+x2=p+2p/k^2
焦点的弦=√(1+k^2)*|x2-x1|=√(1+k^2)*|x2-x1|=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=2p+2p/k^2
弦的两个端点到准线的距离之和为
x1+x2+p=p+2p/k^2+p
以过抛物线y^2=2px焦点的弦为直径的圆的圆心到准线的距离d=p+p/k^2
d是圆直径的一半
以过抛物线y^2=2px焦点的弦为直径的圆与此抛物线的准线相切
答
一楼证明太复杂,其实不须过多计算.
过弦的两个端点向准线作垂线,这是可得到一个直角梯形.
根据抛物线的定义,得：弦的两个端点到焦点的距离等于梯形的上下底,
也就是梯形的斜腰（就是过焦点的弦）等于上下底的和,
由此可得,梯形的中位线等于弦长的一半,
所以,以弦为直径的圆与直角梯形的直边腰（也就是准线）相切.