过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.

问题描述:

过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.

设M的坐标为(x,y),
则A、B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM,
∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|.
而|PM|=

(x−2)2+(y−4)2

|AB|=
(2x)2+(2y)2

∴2
(x−2)2+(y−4)2
4x2+4y2

化简,得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程.
答案解析:设M的坐标为(x,y),欲求线段AB的中点M的轨迹方程,只须求出坐标x,y的关系式即可,由题意得2|PM|=|AB|,利用两点间的距离公式将点的坐标代入后化简即得M的轨迹方程.
考试点:轨迹方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系.
知识点:本题主要考查了轨迹方程、两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系等知识,属于中档题.