证明一个数除以4余数是2或3,他一定不是一个完全平方

证明：对任意正整数n进行mod 4分类，即n=0,1,-1,2（mod4)
则n^2=0,1(mod4)
因此除以4余2或3的数必不是完全平方数。

分两部分：
(1)设该数为4n+2，因4n+2=2(2n+1)，若它是平方数，则一定是某个偶数的平方，设为2k，即有
(2k)^2=2(2k^2)=2(2n+1)
得到 2k＾2＝2n＋1，矛盾。
(2)设该数是4n+3，若它是平方数，则一定是某个奇数的平方，设为2k+1，则
4n+3=(2k+1)^2=4(k^2+k)+1
左右分别是除以4余数3和1，矛盾
综上可知结论成立

(2n)^2=4n^2,
偶数的平方是4的倍数,
(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4(n^2+n)+1,
奇数的平方除以4余数是1.
所以,若一个数除以4余数是2或3,他不可能是偶数的平方,也不可能是奇数的平方,也就是他一定不是一个完全平方数.

N=a*3+2
N=b*7+3
N=c*11+4
N+18=b*7+3+18=b*7+21 ....能被7整除
N+18=c*11+4+18=c*11+22 ....能被11整除
N+18=a*3+2+18=3a+23 ....不能被3整除
再加个(11和7的公倍数77)得:
N+18+77=b*7+3+18+77=b*7+21+77 ....能被7整除
N+18+77=c*11+4+18+77=c*11+22+77 ....能被11整除
N+18+77=a*3+2+18+77=3a+97 ....不能被3整除
再加个(11和7的公倍数77)得:
N+18+77*2=b*7+3+18+77*2=b*7+21+77*2 ....能被7整除
N+18+77*2=c*11+4+18+77*2=c*11+22+77*2 ....能被11整除
N+18+77*2=a*3+2+18+77*2=3a+174 ....能被3整除
因此N+18+77*2能倍3,7,11整除.
3,7,11的最小公倍数为:231
因此最小的N满足:
N+18+77*2=231
N=59
10001/231=43....68
68>59
因此共有44个.
分别是:
59,59+231=290,59+2*231,59+3*231=521,......,59+43*231=9992