设A={a1 , a2 , … , an}⊆M(n∈N* , n≥2),若a1+a2+…+an=a1a2…an,则称集合A是集合M的n元“好集”.(1)写出实数集R上的一个二元“好集”;(2)是否存在正整数集合N*上的二元“好集”?说明理由;(3)求出正整数集合N*的所有三元“好集”.

问题描述:

A={a1 , a2 , … , an}⊆M(n∈N* , n≥2),若a1+a2+…+an=a1a2…an,则称集合A是集合M的n元“好集”.
(1)写出实数集R上的一个二元“好集”;
(2)是否存在正整数集合N*上的二元“好集”?说明理由;
(3)求出正整数集合N*的所有三元“好集”.

(1)∵-1+

1
2
=(-1)×
1
2
,∴A={−1, 
1
2
}

(2)设A={a1,a2}是正整数集N*上的二元“好集”,
则a1+a2=a1a2a1 , a2N*,不妨设a2>a1
则a1=a1a2-a2=a2(a1-1),a1−1=
a1
a2
,∵0<
a1
a2
<1

∴满足a1−1=
a1
a2
的a1∈N*不存在;
故不存在正整数集合N*上的二元“好集”.
(3)设A={a1,a2,a3}是正整数集N*上的三元“好集”,不妨设a3a2a1(a1a2a3N*)
∵a1a2a3=a1+a2+a3<3a3⇒a1a2<3,
满足a1a2<3的正整数只有a1=1,a2=2,代入a1a2a3=a1+a2+a3得a3=3,
故正整数集合N*的所有三元“好集”为{1,2,3}.
答案解析:根据集合中元素满足的性质a1+a2+…+an=a1a2…an,可验证{-1,
1
2
}符合条件求解(1);
对(2)可用反证法证明:在正整数集合N*上的二元“好集”不存在;
对(3)利用不等式的放缩技巧,不妨设a3>a2>a1,a1a2a3=a1+a2+a3<3a3,这样就可限制a1、a2的大小,从而求出符合条件的“好集”.
考试点:子集与交集、并集运算的转换.
知识点:本题借助新定义问题,考查集合中元素的互异性、确定性、无序性.