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函数y=sinx+cosx+sinxcosx，（x∈R）的值域是 ___ ．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:15:09
问题描述：

函数y=sinx+cosx+sinxcosx，（x∈R）的值域是 ___ ．

答

令t=sinx+cosx=

 2
sin（x+
π
4
）∈[-
 2
，
 2
]，则有 t2=1+2sinxcosx，
故函数y=sinx+cosx+sinxcosx=t+
t2-1
2
=
1
2
（t+1）2-1，
∴当t=-1时，函数取得最小值为-1，当t=
 2
时，函数取得最大值为
 2
+
1
2
，
故函数的值域为[-1，
 2
+
1
2
]，
故答案为：[-1，
 2
+
1
2
]．
答案解析：令t=sinx+cosx∈[-
 2
，
 2
]，则函数即y═
1
2
（t+1）2-1，再利用二次函数的性质求得函数的值域．
考试点：三角函数的最值．
知识点：本题主要考查求三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．

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