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如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=2，OE=3，则tanC•tanB=（　　）A. 2B. 3C. 4D. 5

分类: 作业答案 • 2022-04-12 16:38:58
问题描述：

如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=2，OE=3，则tanC•tanB=（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答

连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，
∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，
∴

AB
CD
＝
BE
DE
=
AE
CE
，
AC
BD
＝
CE
DE
=
AE
BE
，
由AD为直径可知∠DBA=∠DCA=90°，
∵DE=2，OE=3，
∴AO=OD=OE+ED=5，AE=8，
tanC•tanB=tan∠ADB•tan∠ADC=
AB
BD
•
AC
CD
＝
BE
DE
•
CE
DE
=
AB
CD
•
AC
BD
=
AE
CE
•
CE
DE
=
AE
DE
=
8
2
=4．
故选C．
答案解析：由DE=2，OE=3可知AO=OD=OE+ED=5，可得AE=8，连接BD、CD，可证∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∠DBA=∠DCA=90°，将tanC，tanB在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段
AE
DE
的比．
考试点：锐角三角函数的定义；三角形的外接圆与外心．
知识点：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．

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