已知:在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在劣弧AD上取一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于G,交⊙O于H.求证:AC⊥BH.

问题描述:

已知:在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在劣弧

AD
上取一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于G,交⊙O于H.
求证:AC⊥BH.

证明:连接AD,
∵∠DAC=∠DEC,∠EBC=∠DEC,
∴∠DAC=∠EBC,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC+∠DCA=90°,
∴∠EBC+∠DCA=90°,
∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°,
∴AC⊥BH.
答案解析:连接AD,由圆周角定理可知∠DAC=∠DEC,再由∠EBC=∠DEC可得出∠DAC=∠EBC,根据AC是⊙O的直径,
知∠ADC=90°,故可得出∠EBC+∠DCA=90°,由三角形内角和定理得出∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°,故可得出结论.
考试点:圆周角定理.
知识点:本题考查的是圆周角定理,在解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件.