如图,AD为△ABC的中线,E为AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于F,FG⊥AD于G.求证:AG=EG.

问题描述:

如图,AD为△ABC的中线,E为AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于F,FG⊥AD于G.求证:AG=EG.

证明:如图,过BM⊥AD于M,CN⊥AD于N,
∵AD为△ABC的中线,
∴BD=CD,
在△BDM和△CDN中,

∠M=∠CND=90°
∠CDN=∠BDM
BD=CD

∴△BDM≌△CDN(AAS),
∴BM=CN,
在Rt△ACN和Rt△EBM中,
BE=AC
BM=CN

∴Rt△ACN≌Rt△EBM(HL),
∴∠CAN=∠BEM,
∵∠AEF=∠BEM,
∴∠CAN=∠AEF,
∴AF=EF,
∵FG⊥AD,
∴AG=EG(等腰三角形三线合一).
答案解析:过BM⊥AD于M,CN⊥AD于N,根据三角形的中线的定义可得BD=CD,然后利用“角角边”证明△BDM和△CDN全等,根据全等三角形对应边相等可得BM=CN,再利用“HL”证明△ACN和△EBM全等,根据全等三角形对应角相等可得∠CAN=∠BEM,然后求出∠CAN=∠AEF,根据等角对等边可得AF=EF,再利用等腰三角形三线合一的性质证明即可.
考试点:全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,难点在于作出辅助线并两次证明三角形全等.