若f(x)是连续的奇函数,试证明∫f(cost)dt=0(上限为nπ+π,下限为nπ)
问题描述:
若f(x)是连续的奇函数,试证明∫f(cost)dt=0(上限为nπ+π,下限为nπ)
答
若f(x)是连续的奇函数,则f(cost)也是连续的奇函数,2π是f(cost)的一个周期
∫f(cost)dt=0(上限为1/2*π,下限为-1/2*π)
令t=x+1/2*π
∫f(cosx)dx=0(上限为π,下限为0)
答
cost=u -sintdt=du
∫f(cost)dt= ±∫(cosnπ,cos( nπ+π) f(u)/√(1-u^2)du
由于后面积分中,被积函数f(u)/√(1-u^2)是奇函数,积分区间为1和-1构成的对称区间,故积分=0