问一道比较初级的数学动点题?
问题描述：
问一道比较初级的数学动点题?
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在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D是AB上任意一点（A、B两点除外）,过D作AB的垂线与△ABC的直角边相交于E,设AD=x,△ADE的面积为y.当点D在AB上移动时：
1>求x的取值范围；
2>求函数y与自变量x的函数关系式；
3>当AD为何值时,△ADE的面积最大,并求出其最大值.
请写出解题步骤.最好有适当的分析思路.
答
分析：过点D作DM⊥AB,垂足为M.
在直角△ABC中,AC=3,BC=4,可求出AB=5,进一步求出CM=12/5,AM=9/5.
D点只能在AM上（可以为点M）,否则ADE不能构成三角形.
（1）作CM⊥AB,垂足为M.在直角△ABC中,∵AC=3 BC=4 ∴AB=5 △ABC的面积=1/2AC*BC=1/2AB*CM∴CM=12/5 在直角△ACM中,AM^2+CM^2=AC^2 ∴AM^2+(12/5)^2=3^2 ∴AM=9/5
∴ x的取值范围是0＜x＜=9/5
（2） ∵DE⊥AB,CM⊥AB
∴DE‖CM
∴△ADE∽△AMC
∴DE/CM=AD/AM ∴DE/(12/5)=x/(9/5)∴DE=4/3x
∴ △ADE的面积=1/2AD*DE=1/ 2*x( 4/3x)= 2/3x^2 即y=2/3x^2(0＜x＜＝9/5)
(3) AD=9/5时△ADE的面积最大,最大值为1/2*AM*CM=1/2×9/5×12/5=54/25