如图,A、B、C为⊙O上三点,∠BAC=120°,∠ABC=45°,M,N分别是BC,AC的中点,则OM:ON=_.

问题描述:

如图,A、B、C为⊙O上三点,∠BAC=120°,∠ABC=45°,M,N分别是BC,AC的中点,则OM:ON=______.

连结OA、OB、OC,如图,设⊙O的半径为R,
∵∠BAC=120°,∠ABC=45°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=15°,
∴∠AOC=2∠ABC=90°,∠AOB=2∠ACB=30°,
∴△OAC为等腰直角三角形,∠BOC=90°+30°=120°,
∵M,N分别是BC,AC的中点,
∴OM⊥BC,ON⊥AC,
在Rt△OCN中,ON=

2
2
OC=
2
2
R,
∵OC=OB,∠BOC=120°,
∴∠OCB=∠OBC=30°
在Rt△BOM中,OM=
1
2
OB=
1
2
R,
∴OM:ON=
1
2
R:
2
2
R=1:
2

故答案为1:
2